Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 设正数数列{c_n}满足，求数列{c_n}中的最大项；
（Ⅲ） 求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用即可得出；
（Ⅱ）解法一：通过构造函数，利用函数的单调性即可得出；
解法二：先计算前几项，猜想出结论，利用数学归纳法即可证明；
（Ⅲ））解法一：当n≥4时，可证：n⁴＞16n（n-1），再利用裂项求和即可证明；
解法二：n≥2时，，再利用裂项求和即可证明．
解答：解：（Ⅰ）由已知：对于n∈N^*，总有①成立
∴②
①-②得
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n，a_n-1均为正数，∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列，又n=1时，，解得a₁=1．
∴a_n=n．
（Ⅱ）解法一：由已知c_n＞0，，
⇒，同理，，．
易得 c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞…猜想n≥2时，{c_n}是递减数列．
令
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由．
∴n≥2时，{lnc_n}是递减数列．即{c_n}是递减数列．
又c₁＜c₂，∴数列{c_n}中的最大项为．
解法二：猜测数列{c_n}中的最大项为．c₁＜c₂＞c₃易直接验证；
以下用数学归纳法证明n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
（1）当n=3时，nⁿ⁺¹=81＞64=（n+1）ⁿ，所以n=3时不等式成立；
（2）假设n=k（k≥3）时不等式成立，即k^k+1＞（k+1）^k，即，
当n=k+1时，，
所以（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1，即n=k+1时不等式成立．
由（1）（2）知nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ对一切不小于3的正整数都成立．
（3）解法一：当n≥4时，由基本不等式的性质可得，
当时，取前一个等号，显然取不到，因此：n³+16＞16n，∴n⁴＞16n（n-1）．

解法二：n≥2时，，

点评：熟练掌握利用求通项、通过构造函数并利用函数的单调性证明不等式、数学归纳法、适当放缩、裂项求和是解题的关键．