Question

11．已知实数a，b，c满足条件a²+b²=2c²，求$\frac{c}{a-2b}$的范围．

Answer 1

分析 已知式子变形，令$\frac{a}{c}$=x，$\frac{b}{c}$=y，问题转化为x²+y²=2，求$\frac{1}{x-2y}$的取值范围，三角换元先求z=x-2y的范围，再由不等式的性质可得．

解答 解：∵a²+b²=2c²，∴$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$=2，即（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=2，
而$\frac{c}{a-2b}$=$\frac{1}{\frac{a}{c}-2\frac{b}{c}}$，令$\frac{a}{c}$=x，$\frac{b}{c}$=y，
则问题转化为x²+y²=2，求$\frac{1}{x-2y}$的取值范围，令z=x-2y，
三角代换可得z=$\sqrt{2}$cosθ-2$\sqrt{2}$sinθ=$\sqrt{10}$cos（θ+φ），其中tanφ=2，
由三角函数的知识可得z∈[-$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$]，
∴$\frac{1}{z}$≥$\frac{\sqrt{10}}{10}$或$\frac{1}{z}$≤-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴所求取值范围为[$\frac{\sqrt{10}}{10}$，+∞）∪（-∞，-$\frac{\sqrt{10}}{10}$]

点评 本题考查简单线性规划求式子的取值范围，三角换元是解决问题的关键，属中档题．