Question

【题目】椭圆C： =1的右焦点F，过焦点F的直线l0⊥x轴，P（x0 ， y0）（x0y0≠0）为C上任意一点，C在点P处的切线为l，l与l0相交于点M，与直线l1：x=3相交于N．
（I） 求证；直线 =1是椭圆C在点P处的切线；
（Ⅱ）求证： 为定值，并求此定值；
（Ⅲ）请问△ONP（O为坐标原点）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵P（x0 ， y0）在椭圆C： 上，
∴ ，即 ，
∴直线 过点P（x0 ， y0），
由 ，消去y，并利用 ，得 ，
即6x2﹣12x0x+6x02=0，即6（x﹣x0）2=0，∴x=x0 ，
∴直线 =1与椭圆C在点P处有且仅有一个交点，
综上，直线 是椭圆C在点P处的切线．
（Ⅱ）在 中，令x=1，得y= ，∴M（1， ），
在 中，令x=3，得y= ，∴N（3， ），
又F（1，0），∴|FM|=| |=2| |，
|FN|= =2 =2 =2 ，
∴ = 为定值．
解：（Ⅲ）在直线 中，令y=0，得x= ，
∴切线l与x轴的交点为G（ ，0），
S△ONP= = =
= | || |
= | || |
=
=| |= ，
S△ONP= = = = ，
令3﹣x0= ，由﹣ ，得 ，且t ，
且 = = = = ，
∴当t= ，x0=1时，△ONP（O为坐标原点）的面积是存在最小值{S△ONP}min= ，
此时P（1， ）．

【解析】（Ⅰ）推导出直线 过点P（x0 ， y0），由 及 ，得 ，由此能证明直线 是椭圆C在点P处的切线．（Ⅱ）在 中，令x=1，M（1， ），令x=3，得N（3， ），由此求出|FM|，|FN|，由此能证明 为定值．（Ⅲ）求出切线l与x轴的交点为G（ ，0），推导出S△ONP= = ，令3﹣x0= ，利用配方法能求出△ONP的面积的最小值及对应的P点坐标．