题目内容

12．已知正整数数列{an}满足a2=4，且对任意n∈N*，有2+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$＜$\frac{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}}{{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}}$＜2+$\frac{1}{a_n}$
（1）求a1，a3，并猜想数列{an}的通项公式；
（2）由（1）的猜想，设数列{$\frac{1}{a_n}$}的前n项和为Sn，求证：Sn＜2．

分析 （1）对任意n∈N*，有2+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$＜$\frac{\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$＜2+$\frac{1}{a_n}$，可得n=1时，$2+\frac{1}{{a}_{2}}$＜2$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}）$$＜2+\frac{1}{{a}_{1}}$，化为：$\frac{2}{3}＜{a}_{1}＜\frac{8}{7}$，由a1是正整数，可得a1=1．当n=2时，可得：8＜a3＜10，可得a3=9，猜想an=n2．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$≤$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解：对任意n∈N*，有2+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$＜$\frac{\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$＜2+$\frac{1}{a_n}$，可得n=1时，$2+\frac{1}{{a}_{2}}$＜2$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}）$$＜2+\frac{1}{{a}_{1}}$，∴$2+\frac{1}{4}$$＜2（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{4}）$$＜2+\frac{1}{{a}_{1}}$，化为：$\frac{2}{3}＜{a}_{1}＜\frac{8}{7}$，∵a1是正整数，∴a1=1．
当n=2时，可得：8＜a3＜10，可得a3=9，猜想an=n2．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$≤$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴Sn=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≤1+$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．
∴Sn＜2．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和．

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