Question

10．设a＞0，b＞0若$\sqrt{{3}^{5}}$是3^a与3^b的等比中项，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． 4
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 利用等比数列的性质可得a+b=5．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，$\sqrt{{3}^{5}}$是3^a与3^b的等比中项，
∴${3}^{a}•{3}^{b}=（\sqrt{{3}^{5}}）^{2}$=3⁵，
化为a+b=5．
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{5}（a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{5}（2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）$$≥\frac{1}{5}$$（2+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}）$=$\frac{4}{5}$，当且仅当a=b=$\frac{5}{2}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．