Question

已知数列a_n的首项a₁=0，a_n+a_n+1（n∈N^*）是首项为1、公差为3的等差数列．
①求a_n的通项公式；
②求数列2^-n×a_n的前n项和S_n．

Answer 1

①依题意，根据等差数列通项公式，a_n+a_n+1=3n-2，
当n＞1时，a_n+a_n-1=3n-5，a_n+1-a_n-1=3，
即a_2n-1（n∈N^*）和a_2n（n∈N^*）都是公差为3的等差数列．
因为a₁=0，a₂=1，
所以a_2n-1=3（n-1），a_2n=3n-2，
即an=

3(k-1)，n=2k-1 3k-2，n=2k

，k∈N^*．
②S_n=2^-1×a₁+2^-2×a₂+2^-3×a₃++2^-n+1×a_n-1+2^-n×a_n2S_n=a₁+2^-1×a₂+2^-2×a₃++2^-n+2×a_n-1+2^-n+1×a_n，
两式相加得3S_n=2^-1（a₂+a₁）+2^-2（a₃+a₂）++2^-n+2（a_n-1+a_n-2）+2^-n+1（a_n+a_n-1）+2^-n×a_n6S_n
=（a₂+a₁）+2^-1（a₃+a₂）++2^-n+3（a_n-1+a_n-2）+2^-n+2（a_n+a_n-1）+2^-n+1×a_n
两式相减得：3S_n=1+2^-1×3+2^-2×3++2^-n+2×3-2^-n+1×（3n-5）+2^-n×a_n3S_n
=1+3×（1-2^-n+2）-2^-n+1×（3n-5）+2^-n×a_n=4-2^-n×（6n+2-a_n）
Sn=

4-2-n×(6n+2-an)

3

，
所以Sn=

4-2-2k+1×(9k-1) 3 ，n=2k-1 4-2-2k×(9k+4) 3 ，n=2k

，k∈N^*．