Question

如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB=1，过点P作圆的切线PC，使PC=1．连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于

1

2

？

Answer 1

分析：设∠PAB=α，连接PB．根据题意设出PA和PB，利用PC是切线推断出∠BPC=α．利用三角形面积公式分别表示出S_△APB和S_△BPC，利用两角和公式和二倍角公式整理后，利用正弦函数的性质求得α．

解答：解：设∠PAB=α，连接PB．
∵AB是直径，∴∠APB=90°．
又AB=1，∴PA=cosα，PB=sinα．
∵PC是切线，∴∠BPC=α．又PC=1，
∴S_{四边形ABCP}=S_△APB+S_△BPC
=

1

2

PA•PB+

1

2

PB•PC•sinα=

1

2

cosαsinα+

1

2

sin2α=

1

4

sin2α+

1

4

（1-cos2α）
=

1

4

(sin2α-cos2x)+

1

4

=

2

4

sin(2α-

π

4

)+

1

4

由已知，

2

4

sin(2α-

π

4

)+

1

4

=

1

2

∴sin(2α-

π

4

)=

2

2

又α?(0，

π

2

)，
∴2α-

π

4

∈(-

π

4

，

3π

4

)．
∴2α-

π

4

=

π

4

，∴α=

π

4

故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，
四边形ABCP的面积等于

1

2

点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型．注重了基础知识和基本运算能力的考查．