Question

如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于点P，设AP=a，PB=B．
（1）求弦CD的长；
（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．

Answer 1

分析：（1）依题意，利用射影定理，PC²=AP•PB即可求得弦CD的长；
（2）利用基本不等式ab≤(

a+b

2

)2当且仅当“a=b”时“=”成立，即可求得答案．

解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点P，
∴在直角三角形ACB中，由射影定理知，PC²=AP•PB，
∵AP=a，PB=b，
∴CD=2PC=2

PC2

=2

ab

，
（2）∵a+b=10，
∴ab≤(

a+b

2

)2=25，当且仅当“a=b=5”时“=”成立．

点评：本题考查与圆有关的线段，突出考查射影定理与基本不等式的应用，属于中档题．