Question

（2012•菏泽一模）如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱锥B-CDP的体积．

Answer 1

分析：（I）连接DP、AC₁，在△ABC₁中根据中位线定理，得DP∥AC₁，结合线面平行的判定定理，得DP∥平面ACC₁A₁；
（II）过点D作DE⊥BC于E，结合DE∥CC₁且DE=

1

2

CC₁，得三棱锥B-CDP的高DE=

3

2

，结合△BCP的面积和锥体体积公式，可算出三棱锥B-CDP的体积．

解答：解：（I）连接DP、AC₁，
∵△ABC₁中，P、D分别为AB、BC₁中点
∴DP∥AC₁，
∵AC₁⊆平面ACC₁A₁，DP?平面ACC₁A₁，
∴DP∥平面ACC₁A₁
（II）由AP=3PB，得PB=

1

4

AB=

1

2

过点D作DE⊥BC于E，则DE∥CC₁且DE=

1

2

CC₁
又∵CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCP
∵CC₁=3，∴DE=

3

2

∵S_△BCP=

1

2

×2×

1

2

×sin60°=

3

4

∴三棱锥B-CDP的体积v=

1

3

×

3

4

×

3

2

=

3

8

点评：本题在直三棱柱中证明线面平行，并求锥体的体积公式，着重考查了线面平行的判定、线面垂直的性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．