Question

已知函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)+sin(ωx-

π

6

)-2cos2

ωx

2

，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函数f（x）的值域；
（II）若函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

，求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

（I）f(x)=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-(cosωx+1)
=2(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)-1
=2sin(ωx-

π

6

)-1．
由-1≤sin(ωx-

π

6

)≤1，得-3≤2sin(ωx-

π

6

)-1≤1，
可知函数f（x）的值域为[-3，1]．
（II）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，
又由ω＞0，得

2π

ω

=π，即得ω=2．
于是有f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1，
再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)
所以y=f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）