Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为 为参数），过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点.

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程.

Answer 1

【答案】(1) (2) （为参数， ）.

【解析】

（1）求出曲线和直线的普通方程，通过直线与圆相交求出斜率的范围，从而得出倾斜角的范围；

（2）设出对应的参数，联立直线与圆的方程，借助韦达定理表示的参数，从而得出点的轨迹的参数方程.

解：（1） 曲线的直角坐标方程为,

当时，与交于两点，

当时，记，则的方程为，

与交于两点当且仅当，

解得或，

即或，

综上的取值范围是.

（2）的参数方程为（为参数，），

设对应的参数分别为，

则且满足，

由韦达定理可得：，

故 ,

又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程为 （为参数， ）.