Question

【题目】在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角.

Answer 1

【答案】（1） ； （2） 或.

【解析】

（1）根据平方关系消参数得直线的普通方程，根据得曲线的直角坐标方程（2）利用直线参数方程几何意义求解.

（1）因为直线的参数方程为（为参数），

当时，直线的直角坐标方程为．

当时，直线的直角坐标方程为．

因为，

因为，所以．

所以的直角坐标方程为．

（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，

将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．

因为，可设该方程的两个根为，，

则 ，．

所以 ．

整理得，

故．

因为，所以或，

解得或

综上所述，直线的倾斜角为或．

解法2：直线与圆交于，两点，且，

故圆心到直线的距离．

①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．

②当时，直线的方程为．

所以，整理得．

解得．

综上所述，直线的倾斜角为或．