Question

（2012•浦东新区一模）已知正三棱锥O-ABC的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为60°，则此三棱锥的体积为

3

12

．

Answer 1

分析：三棱锥O-ABC的侧棱与底面ABC所成的角都是60°，故O-ABC是正三棱锥．由此入手，能够求出此三棱锥的体积．

解答：解：∵三棱锥O-ABC的侧棱与底面ABC所成的角都是60°，
∴O-ABC是正三棱锥．
过O作OG⊥平面ABC交于点G，延长AG交BC于D．
∵O-ABC是正三棱锥，
∴点G是△ABC的中心，
∴AD是等边△ABC的一条高，
∴AD=

3

2

BC=

3

2

，
∴AG=

2

3

AD=

3

3

．
∵OG⊥平面ABC，
∴∠ABG=60°，
∴OA=2AG=

2 3

3

，OG=

3

AG=1．
∵△ABC是正三角形，
∴BD=CD=

BC

2

=

1

2

，而OB=OC，∴OD⊥BD，
∴OD=

OB2-BD2

=

OA2-BD2

=

4 3 - 1 4

=

13

12

，
∴△ABC的面积=

1

2

AB²sin60°=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．
∴O-ABC的体积为

1

3

×S_△ABC×OG=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

．
故答案为：

3

12

．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．