题目内容
将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1．Sn为数列{bn}的前n项和，且满足
．（Ⅰ）证明数列
成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当
时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．
【答案】分析：（Ⅰ）由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前n项和求其通项这一公式来寻求出路，得到Sn与SSn-1之间的递推关系，先求出Sn的通项公式即可得证，接下来求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）由题意第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1，又已知{bn}的通项公式和a81的值，应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置，有从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数进而求解．
解答：解：（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，
，又Sn=b1+b2++bn，
所以
，
又S1=b1=a1=1．所以数列
是首项为1，公差为
的等差数列．
由上可知
，
．
所以当n≥2时，
．
因此
（Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为
，
所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第三列，
因此
．又
，所以q=2．
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则
．
点评：（1）此问重点考查了数列中的已知前n项的和求解通项这一公式，还考查了等差数的定义；
（2）此问重点考查了由题意及图形准确找规律，还考查了等比数列的通向公式及有数列通向求其所有项和，同时还考查了方程的思想．
（Ⅱ）由题意第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1，又已知{bn}的通项公式和a81的值，应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置，有从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数进而求解．
解答：解：（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，
，又Sn=b1+b2++bn，所以
，又S1=b1=a1=1．所以数列
是首项为1，公差为
的等差数列．由上可知
，
．所以当n≥2时，
．因此
（Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为
，所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第三列，
因此
．又
，所以q=2．记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则
．点评：（1）此问重点考查了数列中的已知前n项的和求解通项这一公式，还考查了等差数的定义；
（2）此问重点考查了由题意及图形准确找规律，还考查了等比数列的通向公式及有数列通向求其所有项和，同时还考查了方程的思想．
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