Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=0，a₁+a₂+a₃+…+a_n+n=a_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，b₁=1，点（T_n+1，T_n）在直线$\frac{x}{n+1}-\frac{y}{n}=\frac{1}{2}$上，若不等式$\frac{b_1}{{{a_1}+1}}+\frac{b_2}{{{a_2}+1}}+…+\frac{b_n}{{{a_n}+1}}≥m-\frac{9}{{2+2{a_n}}}$对于n∈N^*恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用递推式可得：a_n+1=2a_n+1，变形利用等比数列的定义即可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${a_n}={2^{n-1}}-1$，由点（T_n+1，T_n）在直线$\frac{x}{n+1}-\frac{y}{n}=\frac{1}{2}$上，可得$\frac{{{T_{n+1}}}}{n+1}-\frac{T_n}{n}=\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式可得：${T_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，利用递推式可得b_n=n．利用不等式$\frac{b_1}{{{a_1}+1}}+\frac{b_2}{{{a_2}+1}}+…+\frac{b_n}{{{a_n}+1}}≥m-\frac{9}{{2+2{a_n}}}$，可得R_n=$1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}≥m-\frac{9}{2^n}$，利用“错位相减法”可得：${R_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．对n分类讨论即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由a₁+a₂+a₃+…+a_n+n=a_n+1，
得a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+n-1=a_n（n≥2），
两式相减得a_n+1=2a_n+1，
变形为a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
∵a₁=0，∴a₁+1=1，a₂=a₁+1=1，a₂+1=2（a₁+1），
∴{a₁+1}是以1为首项，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${a_n}={2^{n-1}}-1$，
∵点（T_n+1，T_n）在直线$\frac{x}{n+1}-\frac{y}{n}=\frac{1}{2}$上，
∴$\frac{{{T_{n+1}}}}{n+1}-\frac{T_n}{n}=\frac{1}{2}$，
故$\{\frac{T_n}{n}\}$是以$\frac{T_1}{1}=1$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
则$\frac{T_n}{n}=1+\frac{1}{2}（n-1）$，∴${T_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
当n≥2时，${b_n}={T_n}-{T_{n-1}}=\frac{n（n+1）}{2}-\frac{n（n-1）}{2}=n$，
∵b₁=1满足该式，∴b_n=n．
∴不等式$\frac{b_1}{{{a_1}+1}}+\frac{b_2}{{{a_2}+1}}+…+\frac{b_n}{{{a_n}+1}}≥m-\frac{9}{{2+2{a_n}}}$，
即为$1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}≥m-\frac{9}{2^n}$，
令${R_n}=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，则$\frac{1}{2}{R_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}…+\frac{n}{2^n}$，
两式相减得$（1-\frac{1}{2}）{R_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，
∴${R_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．
由${R_n}≥m-\frac{9}{2^n}$恒成立，即$4-\frac{2n-5}{2^n}≥m$恒成立，
又$（4-\frac{2n-3}{{{2^{n+1}}}}）-（4-\frac{2n-5}{2^n}）=\frac{2n-7}{{{2^{n+1}}}}$，
故当n≤3时，$\{4-\frac{2n-5}{2^n}\}$单调递减；当n=3时，$4-\frac{2×3-5}{2^3}=\frac{31}{8}$；
当n≥4时，$\{4-\frac{2n-5}{2^n}\}$单调递增；当n=4时，$4-\frac{2×4-5}{2^4}=\frac{61}{16}$；
则$4-\frac{2n-5}{2^n}$的最小值为$\frac{61}{16}$，所以实数m的最大值是$\frac{61}{16}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的单调性，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．