Question

设f(x)＝－x³＋x²＋2ax.

(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；

(2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝－x²＋x＋2a＝－²＋＋2a.

当x∈时，

f′(x)的最大值为f′＝＋2a.

令＋2a>0，得a>－.

所以当a>－时，f(x)在上存在单调递增区间，

即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.

(2)令f′(x)＝0，得两根，所以f′(x)在(－∞，x₁)，(x₂，＋∞)上单调递减，

在(x₁，x₂)上单调递增．

当0<a<2时，有x₁<1<x₂<4，

所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x₂)，

又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，

即f(4)<f(1)．

所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，得a＝1，x₂＝2，

从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.