Question

（2013•揭阳二模）设函数fn(x)=xn(1-x)2在[

1

2

，1]上的最大值为a_n（n=1，2，…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对任意n∈N^*（n≥2），都有an≤

1

(n+2)2

成立．

Answer 1

分析：（1）解法一：通过函数的导数，判断函数的单调性，求出最大值即可求a₁，a₂的值；
解法二：利用函数的导数，求出函数的最值，推出a₁，a₂的值．
（2）利用（1）解法求出n≥3时函数的最大值，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用分析法以及二项式定理直接证明：对任意n∈N^*（n≥2），都有an≤

1

(n+2)2

成立．

解答：解：（1）解法1：∵fn′(x)=nxn-1(1-x)2-2xn(1-x)=xn-1(1-x)[n(1-x)-2x]-------（1分）
当n=1时，f₁'（x）=（1-x）（1-3x）
当x∈[

1

2

，1]时，f₁'（x）≤0，即函数f₁（x）在[

1

2

，1]上单调递减，
∴a1=f1(

1

2

)=

1

8

，--------------------------------------------------（3分）
当n=2时，f₂'（x）=2x（1-x）（1-2x）
当x∈[

1

2

，1]时，f₂'（x）≤0，即函数f₂（x）在[

1

2

，1]上单调递减，
∴a2=f2(

1

2

)=

1

16

---------------------------------------------------（5分）
【解法2：当n=1时，f1(x)=x(1-x)2，则f1′(x)=(1-x)2-2x(1-x)=(1-x)(1-3x)
当x∈[

1

2

，1]时，f₁'（x）≤0，即函数f₁（x）在[

1

2

，1]上单调递减，∴a1=f1(

1

2

)=

1

8

，
当n=2时，f2(x)=x2(1-x)2，则f2′(x)=2x(1-x)2-2x2(1-x)=2x（1-x）（1-2x）
当x∈[

1

2

，1]时，f₂'（x）≤0，即函数f₂（x）在[

1

2

，1]上单调递减，∴a2=f2(

1

2

)=

1

16

】
（2）令f_n'（x）=0得x=1或x=

n

n+2

，
∵当n≥3时，

n

n+2

∈[

1

2

，1]且当x∈[

1

2

，

n

n+2

)时f_n'（x）＞0，
当x∈(

n

n+2

，1]时f_n'（x）＜0，-----------------（7分）
故f_n（x）在x=

n

n+2

处取得最大值，
即当n≥3时，an=fn(

n

n+2

)=(

n

n+2

)n(

2

n+2

)2=

4nn

(n+2)n+2

，-------（9分）
当n=2时（*）仍然成立，
综上得an=

1 8 ，n=1 4nn (n+2)n+2 ．，n≥2

-------------------------------------（10分）
（3）当n≥2时，要证

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，只需证明(1+

2

n

)n≥4，-------------------（11分）
∵(1+

2

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

2

n

)+…+

C

n n

(

2

n

)n≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

≥1+2+1=4
∴对任意n∈N^*（n≥2），都有an≤

1

(n+2)2

成立．-----------------（14分）

点评：本题考查数列与函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，数列通项公式的求法，二项式定理的应用，考查计算能力转化思想的应用．