Question

7．如图已知四边形ABCD是菱形，P是ABCD所在平面外一点，且PB=PD=AB，M是PC的中点，
（1）求证：PA∥平面BDM
（2）求证：平面BDM⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，交于点O，连结OM，则OM∥PA，由此能证明PA∥平面BDM．
（2）推导出AC⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BDM⊥平面PAC．

解答 证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OM，
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点，
∵M是PC的中点，∴OM∥PA，
∵OM?平面BDM，PA?平面BDM，
∴PA∥平面BDM．
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，O是BD的中点，
连结OP，∵PB=PD，∴PO⊥BD，
∵PO∩AC=0，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BDM，∴平面BDM⊥平面PAC．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．