Question

5．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，则|3x+y-4|+|x+2y+8|的最小值是（　　）

• A． 11
• B． 12
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则由图象知，x≥0，y≥0，则|x+2y+8|=x+2y+8，
设z=|3x+y-4|+|x+2y+8|，
则z=|3x+y-4|+x+2y+8，
若3x+y-4≥0，则不等式对应的区域为△ACB，
此时z=3x+y-4+x+2y+8=4x+3y+4，
即y=$-\frac{4}{3}$x+$\frac{z-4}{3}$，平移直线y=$-\frac{4}{3}$x+$\frac{z-4}{3}$由图象知当直线y=$-\frac{4}{3}$x+$\frac{z-4}{3}$经过点C时，直线y=$-\frac{4}{3}$x+$\frac{z-4}{3}$的截距最小，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-4=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（1，1），此时z=4+3+4=11，
若3x+y-4≤0，则不等式对应的区域为△OAC，
此时z=-（3x+y-4）+x+2y+8=-2x+y+12，
即y=2x+z-12，平移直线y=2x+z-12，由图象知当直线y=2x+z-12，经过点C时，直线y=2x+z-12的截距最小，此时z最小，
此时z=-2+1+12=11，
综上|3x+y-4|+|x+2y+8|的最小值是11．
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，根据绝对值的性质，利用数形结合是解决本题的关键．