Question

若函数f(x)=log

1

2

(

1+tx

1+x

)(t≠1)是奇函数．
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）求f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）解关于a的不等式f（a-1）+f（2a-1）≤0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（-x）+f（x）=0，可得（t²-1）x²=0，该式对定义域内的x恒成立，故t²=1，又t≠1，可得t的值．
（Ⅱ）当t=-1时，f（x）的定义域为（-1，1）．又f(x)=log

1

2

(

1-x

1+x

)=log

1

2

(-1+

2

1+x

)，函数y=-1+

2

1+x

在（-1，1）上是减函数，再由复合函数的单调性判断可知f（x）在区间（-1，1）上单调性．
（Ⅲ）f（a-1）+f（2a-1）≤0等价于f（a-1）≤f（1-2a），结合（Ⅰ）（Ⅱ）可得：

-1＜a-1＜1 -1＜1-2a＜1 a-1≥1-2a

，由此解得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）由函数f(x)=log

1

2

(

1+tx

1+x

)(t≠1)是奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，可得（t²-1）x²=0，该式对定义域内的x恒成立，
故t²=1，又t≠1，故t=-1．…（3分）
（Ⅱ）当t=-1时，f（x）的定义域为（-1，1）．又f(x)=log

1

2

(

1-x

1+x

)=log

1

2

(-1+

2

1+x

)，函数y=-1+

2

1+x

在（-1，1）上是减函数，
由复合函数的单调性判断可知：f（x）在区间（-1，1）上单调递增．…（7分）
（Ⅲ）f（a-1）+f（2a-1）≤0等价于f（a-1）≤f（1-2a），结合（Ⅰ）（Ⅱ）可得：

-1＜a-1＜1 -1＜1-2a＜1 a-1≥1-2a

，解得：a∈[

2

3

，1)．…（12分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，对数函数的图象和性质，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．