Question

7．在直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R）．
（Ⅰ）若$m=n=\frac{1}{3}$，求|$\overrightarrow{OP}$|；      
（Ⅱ）用x，y表示m-n，并求m-n的最小值．

Answer 1

分析 （I）$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，1）．可得$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=（m+2n，2m+n）．由$m=n=\frac{1}{3}$，代入可得$\overrightarrow{OP}$=（1，1），即可得出$|\overrightarrow{OP}|$．
（II）由（m+2n，2m+n）=（x，y）．解得$m=\frac{-x+2y}{3}$，n=$\frac{2x-y}{3}$，m-n=y-x．设z=y-x，即可得出．

解答 解：（I）$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，1）．
∴$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=（m+2n，2m+n）．
∵$m=n=\frac{1}{3}$，∴$\overrightarrow{OP}$=（1，1），∴$|\overrightarrow{OP}|$=$\sqrt{2}$．
（II）$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=（m+2n，2m+n）=（x，y）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2n}\\{y=2m+n}\end{array}\right.$，解得$m=\frac{-x+2y}{3}$，n=$\frac{2x-y}{3}$，∴m-n=y-x．
设z=y-x，直线z=y-x经过点C（3，2）时，z取得最小值-1，即m-n的最小值为-1．

点评 本题考查了向量坐标运算、向量相等、线性规划一个问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．