Question

17．从一批有10件合格品与3件次品的产品中，一件一件地抽取产品，每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品，直到取出合格品为止，求抽取次数ξ的分布列．

Answer 1

分析 ξ的所有取值为1，2，3，…，n，…，“ξ=1”表示只取一次就取到合格品，“ξ=2”表示第一次取到次品，第二次取到合格“，ξ=3”表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品，…，由此能求出相应的概率，从而能求出随机变量ξ的分布列．

解答 解：ξ的所有取值为1，2，3，…，n，…，
“ξ=1”表示只取一次就取到合格品，∴P（ξ=1）=$\frac{{C}_{10}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{10}{13}$，
“ξ=2”表示第一次取到次品，第二次取到合格，∴P（ξ=2）=$\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$，
“ξ=3”表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品，
∴P（ξ=3）=$\frac{3}{13}×\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$=（$\frac{3}{13}$）²×$\frac{10}{13}$，
同理，得P（ξ=n）=（$\frac{3}{13}$）ⁿ×$\frac{10}{13}$，
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	…	n	…
P	$\frac{10}{13}$	$\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$	$（\frac{3}{13}）^{2}×\frac{10}{13}$	…	$（\frac{3}{13}）^{n}×\frac{10}{13}$	…

点评 本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．