Question

已知m是正整数，若关于x的方程2x-m

10-x

-m+10=0有整数解，则x所有可能的取值的和等于

20

．

Answer 1

分析：首先根据方程2x-m

10-x

-m+10=0求得m=

2x+10

1+ 10-x

，再假设y=

10-x

，（y为非负整数），则求得x代入转化为y的方程．利用整数的特点进一步确定y的值，进而求得m的值．

解答：解：2x-m

10-x

-m+10=0有整数解，
显然满足条件的x，必使得

10-x

为整数，否则m=

2x+10

1+ 10-x

不可能为整数，设y=

10-x

，（y为非负整数），
则m=

2(10-y2)+10

1+y

=

2(1-y2)+28

1+y

=2（1-y）+

28

1+y

，∵y为非负整数 （又1+y能整除28），
∴要使m为正整数，则1+y=1，2，4，
所以y=0，1，3，此时x=10，9，1，x所有可能的取值的和等于20
故答案为：20

点评：本题考查一元二次方程整数根与有理根．解决本题巧妙运用整数的特点及在分数计算中整数的倍数关系求解