题目内容
在数列{an}中,已知an+1an=2an-an+1,且a1=2(n∈N*),(1)求证:数列{
-1}是等比数列;
(2)设bn=an2-an,且Sn为{bn}的前n项和,试证:2≤Sn＜3.
证明:(1)由an+1an=2an-an+1且a1=2≠0,得an＞1≠0(n∈N*).
再由等式两边同除以an+1an,得-1=
(
-1).
由a1=2得
-1=
.所以数列{
-1}是首项为
,公比为
的等比数列.
(2)方法一:由(1)知
-1=
(
)n-1=-(
)n,即an=
.
故an2-an=an(an-1)=
=bn.
而Sn+1-Sn=bn+1=
＞0,故Sn是关于n的递增数列.
故Sn≥S1=b1=a12-a1=22-2=2.8分当k≥2时,bk=ak(ak-1)=
＜
=
=
.
故Sn＜
+
=3
＜3.
综上,有2≤Sn＜3.
方法二:∵bn=an2-an=an(an-1)(而an+1=
,故1＜an≤2)≤2(an-1)=2(
-1)=
.
∴Sn=b1+b2+b3+b4+…+bn≤2+
+
+
+c
+…+
＜2+
+
+
+
=2+
+
+
+
＜2+
+
+
+
=2+
+
+
+
=2+
＜3.
综上,有2≤Sn＜3.
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