Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x\\;x≥1}\\{{2}^{x}\\;x＜1}\end{array}\right.$．
（1）求f（-$\frac{1}{2}$），f（2）；
（2）当f（x）=0时，求x的值；
（3）f（x）≤1的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x\\;x≥1}\\{{2}^{x}\\;x＜1}\end{array}\right.$．将x=-$\frac{1}{2}$和x=2代入可得答案；
（2）分当x≥1时和当x＜1时，解方程f（x）=0，最后综合讨论结果，可得答案；
（3）分当x≥1时和当x＜1时，解不等式f（x）≤1，最后综合讨论结果，可得答案；

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x\\;x≥1}\\{{2}^{x}\\;x＜1}\end{array}\right.$．
∴f（-$\frac{1}{2}$）=${2}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（2）=${log}_{\frac{1}{2}}2$=-1；
（2）当x≥1时，解f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$=0得x=1，
当x＜1时，方程f（x）=2^x=0无解，
综上所述当f（x）=0时，x=1；
（3）当x≥1时，解f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$≤1得x≥$\frac{1}{2}$，
即x≥1，
当x＜1时，解f（x）=2^x≤1得：x＜0，
即x＜0，
综上所述满足f（x）≤1的x的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于中档题．