Question

16．已知数列的前n项和为S_n，a₁=2且2S_n²=2a_nS_n-a_n（n≥2）．
（1）证明{$\frac{1}{{S}_{n}}$}为等差数列；
（2）求通项a_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1对2S_n²=2a_nS_n-a_n化简可知2S_n-1S_n=-S_n+S_n-1，通过对等式两边同时除以S_n-1S_n可知2=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$，进而可得结论；
（2）通过（1）可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{4n-3}{2}$，利用a_n+1=S_n+1-S_n计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n=S_n-S_n-1，
∴2S_n²=2a_nS_n-a_n
=2（S_n-S_n-1）S_n-（S_n-S_n-1）
=2S_n²-2S_n-1S_n-S_n+S_n-1，
∴2S_n-1S_n=-S_n+S_n-1，
∴$\frac{2{S}_{n-1}{S}_{n}}{{S}_{n-1}{S}_{n}}$=$\frac{{S}_{n-1}-{S}_{n}}{{S}_{n-1}{S}_{n}}$，
即2=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、2为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+2（n-1）=$\frac{4n-3}{2}$，
∴S_n=$\frac{2}{4n-3}$，
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=$\frac{2}{4n+1}$-$\frac{2}{4n-3}$
=-$\frac{8}{（4n+1）（4n-3）}$
=-$\frac{8}{[4（n+1）-3][4（n+1）-7]}$，
又∵a₁=2不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{-\frac{8}{（4n-3）（4n-7）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．