Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=DA=a，AB=2a，SA⊥平面ABCD，且SA=a．

(1)求证：△SAD、△SAB、△SCB、△SDC都是直角三角形；

(2)在SD上取点M，SC交平面ABM于N，求证：四边形ABNM为直角梯形．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：(1)∵SA⊥平面ABCD，则SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥CD． ∴△SAD、△SAB是直角三角形． CD⊥面SAD， ∴CD⊥SD．∴△SDC是直角三角形． 连结AC， 过C作CG∥AD，交AB于G点，则AG=CD=a． 又AB=2a，∴BG=GC=a．∵∠BAD=90°，∴∠BGC=90°． ∴． 在Rt△ABC中，AB=2a，， 满足．∴AC⊥BC． 又BC⊥SA，∴BC⊥平面SAC．∴BC⊥SC， ∴△SBC是直角三角形． (2)如图所示，∵CD∥AB， ∴CD∥平面ABNM． ． ∴MN∥AB． 又MN＜AB，∴四边形ABNM是梯形． 又CD⊥平面SAD，∴MN⊥平面SAD． ∴NM⊥AM，∴四边形ABNM是直角梯形．

提示：

(1)证明某三角形是直角三角形，即证明直线与直线垂直，应该借助于线面垂直进行；(2)要证明某一四边形是直角梯形，必须解决如下的几个问题，一是有一组对边平行；二是有一条腰和一组对边垂直；三是这组平行边不相等．