题目内容
已知函数f（x）满足f（1）=1，对于任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1，若x∈N*，则函数f（x）的解析式为（ ）A．f（x）=-1
B．f（x）=4x2-1
C．f（x）=0
D．f（x）=x2+3x-3
【答案】分析：先根据赋值法结合已知条件得到f（x+1）-f（x）=2x+4；再利用叠加法即可求出结论．
解答：解：由题意：在f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1中令y=1，
则有f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4；
则f（x+1）-f（x）=2x+4；
所以：f（2）-f（1）=2×1+4；
f（3）-f（2）=2×2+4；
…
f（x）-f（x-1）=2（x-1）+4．
上面各式相加得：f（x）-f（1）
=2×1+2×2+…+2（x-1）+4（x-1）
=2×[1+2+…+（x-1）]+4（x-1）
=x2+3x-4；
∴f（x）=f（1）+x2+3x-4=x2+3x-3．
故选D．
点评：本题主要考查抽象函数及其应用以及叠加法求通项的应用．解决本题的关键在于根据赋值法结合已知条件得到递推式：f（x+1）-f（x）=2x+4．
解答：解：由题意：在f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1中令y=1，
则有f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4；
则f（x+1）-f（x）=2x+4；
所以：f（2）-f（1）=2×1+4；
f（3）-f（2）=2×2+4；
…
f（x）-f（x-1）=2（x-1）+4．
上面各式相加得：f（x）-f（1）
=2×1+2×2+…+2（x-1）+4（x-1）
=2×[1+2+…+（x-1）]+4（x-1）
=x2+3x-4；
∴f（x）=f（1）+x2+3x-4=x2+3x-3．
故选D．
点评：本题主要考查抽象函数及其应用以及叠加法求通项的应用．解决本题的关键在于根据赋值法结合已知条件得到递推式：f（x+1）-f（x）=2x+4．
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