Question

设函数
（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）设为偶数，，，求的最小值和最大值；
（3）设，若对任意，有，求的取值范围；

Answer 1

（1）在区间内存在唯一的零点.
（2）（3）。

试题分析：（1）由，，得 
对恒成立，从而在单调递增，
又，，
即在区间内存在唯一的零点.       分
（2）因为 
 由线性规划
（或，）  分
（3）当时，
（Ⅰ）当或时，即或，此时
只需满足，从而
（Ⅱ）当时，即，此时
只需满足，即
解得：，从而
（Ⅲ）当时，即，此时
只需满足，即
解得：，从而
综上所述：    分
点评：综合题，本题综合性较强，难度较大。确定方程只有一个实根，通过构造函数，研究其单调性实现。由，确定得到，进一步得到，求得b的范围。