题目内容

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，
（I）若 $数学公式$ 是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；
（II）若函数f（x）在区间 $数学公式$ 上单调递增，求实数b的取值范围．

解：（I）f（x）=x³+ax²+bx+2的导数为f′（x）=3x²+2ax+b．
∵f（x）在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，∴f（x）在x=1处的切线斜率为3
∴f′（1）=3，即3+2a+b=3 ①
又∵ $\text{[math]}$ 是函数f（x）的极值点，∴f′（ $\text{[math]}$ ）=0．
即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +b=0 ②
由①②可得，a=2，b=-4
∴f（x）的解析式为f（x）=x³+2x²-4x+2
（II）若函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，则f′（x）≥0在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立，
由（I）可知，2a+b=0，∴a= $\text{[math]}$ b，代入f′（x）=3x²+2ax+b，得f′（x）=3x²-bx+b
∴3x²-bx+b≥0在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立．
∴b≤ $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立
令g（x）= $\text{[math]}$ ，则g（x）= $\text{[math]}$ =3（x-1）+ $\text{[math]}$ +6，
当x∈ $\text{[math]}$ 时，3（x-1）+ $\text{[math]}$ +6≥6+6=12，当且仅当x=2时，等号成立
∴当x∈ $\text{[math]}$ 时，g（x）有最小值为12，
∴b≤12
分析：（I）因为函数f（x）=x³+ax²+bx+2在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，且 $\text{[math]}$ 是函数f（x）的极值点，就可得到函数在x=1和x= $\text{[math]}$ 处的函数值，代入导函数，就可求出参数a，b的值，得到函数解析式．
（II）先由（I）确定函数的解析式（只含参数b），再将函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增问题转化为恒成立问题，即f′（x）≥0在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立，最后利用参变分离法，通过求最值得参数b的取值范围
点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数极值的关系，导数在解决函数单调性问题中的应用，不等式恒成立问题及其解法