Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC₁上，且AC₁=4AF．
（1）求证：平面ADF⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：EF∥平面ABB₁A₁．

Answer 1

证明：（1）因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以CC₁⊥平面ABC，
而AD?平面ABC，所以CC₁⊥AD．…（2分）
又AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，
因为BC∩CC₁=C，BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
所以AD⊥平面BCC₁B₁，…（5分）
因为AD?平面ADF，
所以平面ADF⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（2）连结CF延长交AA₁于点G，连结GB．
因为AC₁=4AF，AA₁∥CC₁，所以CF=3FG，
又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE=3EB，
所以EF∥GB，…（11分）
而EF?平面ABBA₁，GB?平面ABBA₁，
所以EF∥平面ABBA₁．…（14分）
分析：（1）欲证平面ADF⊥平面BCC₁B₁，可先证AD⊥平面BCC₁B₁，CD⊥AB，因AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，故只须证CC₁⊥AD，这个可以根据直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥平面ABC得到；
（2）欲证EF∥平面ABB₁A₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABB₁A₁内一直线平行，连结CF延长交AA₁于点G，连结GB．根据中点条件及AC₁=4AF可知EF∥GB，又EF?平面ABBA₁，GB?平面ABBA₁，满足定理所需条件，从而得出答案．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．