题目内容
函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；
②指数函数f（x）=2x（x∈R）是单函数；
③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
⑤f（x）=|2x-1|是单函数．
其中的真命题是（ ）
①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；
②指数函数f（x）=2x（x∈R）是单函数；
③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
⑤f（x）=|2x-1|是单函数．
其中的真命题是（ ）
分析：利用单函数的定义当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，分别对五个命题进行判断，可以得出正确结论．
解答：解：①对于函数f（x）=x2，由f（x1）=f（x2）得x12=x22，∴x1=±x2，所以①不是单函数，①错误；
②对于函数f（x）=2x，由f（x1）=f（x2）得2x1=2x2，∴x1=x2，所以②是单函数，②正确；
③对于f（x）为单函数，则f（x1）=f（x2）时，有x1=x2，逆否命题是x1≠x2时，有f（x1）≠f（x2），所以③是正确的；
④若函数f（x）是单调函数，则满足f（x1）=f（x2）时，有x1=x2，所以④是单函数，④正确；
⑤对于函数f（x）=|2x-1|，当f（x1）=f（x2）时，|2x1-1|=|2x2-1|，∴x1=x2或2x1+2x2=1，∴x1与x2不一定相等．所以⑤不是单函数，⑤错误．
故选：B．
②对于函数f（x）=2x，由f（x1）=f（x2）得2x1=2x2，∴x1=x2，所以②是单函数，②正确；
③对于f（x）为单函数，则f（x1）=f（x2）时，有x1=x2，逆否命题是x1≠x2时，有f（x1）≠f（x2），所以③是正确的；
④若函数f（x）是单调函数，则满足f（x1）=f（x2）时，有x1=x2，所以④是单函数，④正确；
⑤对于函数f（x）=|2x-1|，当f（x1）=f（x2）时，|2x1-1|=|2x2-1|，∴x1=x2或2x1+2x2=1，∴x1与x2不一定相等．所以⑤不是单函数，⑤错误．
故选：B．
点评：本题考查了函数性质的推导与判断，考查学生分析问题解决问题的能力，有一定的综合性．
练习册系列答案
相关题目
若函数f（x）的定义域为[-1，2]，则函数
的定义域为（ ）
| f(x+2) |
| x |
| A、[-1，0）∪（0，2] |
| B、[-3，0） |
| C、[1，4] |
| D、（0，2] |