Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°,SA=AB=AD=BC=1，E为SD中点.

（1）若F为底面BC边上一点，且BF=BC，求证：EF∥平面SAB.

（2）底面BC边上是否存在一点G.使得二面角S-DG-B的正切值为.若存在，求出G点位置；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：如下图所示.

（1）取SA中点H，连EH、BH由HE∥AD，BF∥AD，且HE=AD，BF=AD.

∴HE∥BF，BF=HE，

∴四边形EFBH为平行四边形.

∴EF∥BH，BH面SAB，EF面SAB，

∴EF∥面SAB.

（2）假设存在点G，满足题设条件，过A作AI⊥DG于I，由三垂线定理得SI⊥DG，并设二面角S-DG-B的大小为α，则tanα=，∴AI=，又AD=1，故∠ADG=45°或∠ADG=135°.

    若∠ADG=45°，则G与B点重合；若∠ADG=135°，则BG=AD+AB=2，故存在点G与B重合或BG=BC满足题设.

点评:本题主要考查了线线、线面的平行与垂直的判定与性质，考查了存在探索性问题的处理方法，考查了计算能力.