Question

7．在△ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$，若$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），则λ+μ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． 1
• D． 4

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$，将$\overrightarrow{AN}$用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出来，即可找到λ和μ的关系，从而求出λ+μ的值．

解答 解：设$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$（0≤t≤1），$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$，
所以$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$）
=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$t$\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$t（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$t）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$t$\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，
所以λ+μ=（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$t）+$\frac{1}{4}$t=$\frac{1}{4}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．