Question

．设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合：
①     ② 是与无关的常数.
（Ⅰ）若是等差数列，是其前n项的和，，证明：；
（Ⅱ）设数列的通项为，求的取值范围；
（Ⅲ）设数列的各项均为正整数，且，试证．

Answer 1

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）≥7（Ⅲ）同解析

（Ⅰ）设等差数列{}的公差是，则，解得所以 ……………………3分
由=－1＜0
得适合条件①；……………………5分
又，所以当=4或5时，取得最大值20，即≤20，适合条件②．综上所述， ……………………7分
（Ⅱ）因为，所以当n≥3时，，此时数列单调递减；当=1，2时，，即
因此数列中的最大项是，所以≥7 ……………………12分
（Ⅲ）假设存在正整数，使得成立，
由数列的各项均为正整数，可得           
因为………14分
由           
因为
依次类推，可得    ……………………17分
又存在，使，总有，故有，这与数列（）的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意,都有成立.………………18分