题目内容
设A={x|x=a2+b2，a，b∈Z}，求证：
（1）若s，t∈A，则st∈A．
（2）若s，t∈A，t≠0，则
=p2+q2，其中p，q是有理数．
（1）若s，t∈A，则st∈A．
（2）若s，t∈A，t≠0，则
| s |
| t |
（1）设s=a2+b2，t=c2+d2，则st=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（ac+bd）2+（ad-bc）2
所以st∈A．
（2）由（1）得st∈A，所以可设st=m2+n2，又t≠0，所以
=
=
=(
)2+(
)2，
令p=
，q=
，则
=p2+q2，p，q为有理数．
所以st∈A．
（2）由（1）得st∈A，所以可设st=m2+n2，又t≠0，所以
| s |
| t |
| st |
| t2 |
| m2+n2 |
| t2 |
| m |
| t |
| n |
| t |
令p=
| m |
| t |
| n |
| t |
| s |
| t |
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，其中p，q是有理数．