Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围
（2）当n∈N^*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

（提示：证明ln（1+x）＜x，（x＞0））

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值⇒f′（x）=0在（a，a+1）上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1∈（a，a+1）．
（2）结合函数f（x）在（1，+∞）上的单调性可得，f （

1

n

+1）＜f（1）=1⇒1+f（1+

1

n

）＜1+f（1）⇒ln（n+1）-lnn＜

1

n

，利用该结论分别把n=1，2，3，…代入叠加可证．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1+lnx

x

，∴f′（x）=-

lnx

x2

，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；
∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数，
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，而函数f（x）在区间（a，a+1）有极值．
∴

a＜1 a+1＞1

，解得：0＜a＜1，
（2）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而1+

1

n

＞1（n∈N*，n≥2），
∴f （

1

n

+1）＜f（1）=1，
∴1+ln（1+

1

n

）＜1+

1

n

，
即ln（n+1）-lnn＜

1

n

，
∴lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
∴1+lnn＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
而n•f（n）=1+lnn，
∴nf（n）＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，结论成立．

点评：本题考查函数存在极值的性质，函数与方程的转化，及利用函数的单调性证明不等式，要注意叠加法及放缩法在证明不等式中的应用．