Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+ （a∈R）．
（1）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；
（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=alnx+ +2，定义域是（0，+∞），

∵f′（x）= ，

∵f（x）在x=2处取得极小值，故f′（2）=0，

即4a+4a﹣2+a=0，解得：a= ，

经检验a= 时，f（x）在x=2处取得极小值

（2）解：∵f′（x）= ，

若f（x）存在单调递减区间，则f′（x）＜0有正数解，

即a（x2+2x+1）＜x有x＞0的解，

即a＜ 有x＞0的解，

问题等价于a＜ ，x＞0，

∵ = ≤ 当且仅当x=1时取“=“，

∴ = ，

∴a＜

【解析】（1）首先求导由已知可得f′（2）=0即可得出a的值。（2）根据导函数研究函数的单调性可得f′（x）＜0有正数解，由式子的几何意义可得a（x2+2x+1）＜x有x＞0的解的情况即a＜ 有x＞0的解，等价于a小于该分式的最大值再利用基本不等式求出这个值即可。
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．