Question

已知函数y=5x-

4

ax2+2ax+1

(a∈R)的定义域为R，解关于x的不等式（x-a）（x-1+a）＜0．

Answer 1

分析：先根据函数y=5x-

4	ax2+2ax+1

(a∈R)的定义域为R求出a的取值范围，然后分0≤a＜

1

2

、a=

1

2

、

1

2

＜a≤1三种情况，分别求出不等式的解集．

解答：解：当a=0时，函数y=5x-1的定义域为R，满足题意，…（1分）
当a≠0时，因为函数y=5x-

4	ax2+2ax+1

的定义域为R，
所以ax²+2ax+1≥0恒成立，故a＞0且△=4a²-4a≤0
解得0＜a≤1…（5分）
综上a的取值范围是0≤a≤1…（6分）
方程（x-a）（x-1+a）=0的两个根为a，1-a，a-（1-a）=2a-1
当0≤a＜

1

2

时，不等式的解为：a＜x＜1-a；…（8分）
当a=

1

2

时，不等式无解…（9分）
当

1

2

＜a≤1时，不等式的解为：1-a＜x＜a…（11分）
综上，当0≤a＜

1

2

时，不等式的解集为：{x|a＜x＜1-a}；
当a=

1

2

时，不等式的解集为φ；
当

1

2

＜a≤1时，不等式的解集为：{x|1-a＜x＜a}…（12分）

点评：本题主要考查二元一次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．