Question

已知函数f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b，其中a，b∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；
（2）当a＞0且a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a=3时，若方程f（x）=0有三个根，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）求导函数，比较导函数等于0的方程根的大小，从而分类讨论，确定函数的单调性；
（3）求导函数，确定函数的单调性与极值，要使方程f（x）=0有三个根，f(x)极大值=f(

1

3

)=

4

27

+b＞0，f（x）_极小值=f（1）=b＜0，即可求得b的取值范围．

解答：解：（1）求导函数得f′（x）=ax²-（a+1）x+1
∵若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4
∴f′（2）=4a-2（a+1）+1=5
∴2a=6，∴a=3
∵点P（2，f（2））在切线方程y=5x-4上
∴f（2）=5×2-4=6，∴2+b=6，∴b=4
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x³-2x²+x+4；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a(x-

1

a

)(x-1)
①当0＜a＜1，即

1

a

＞1时，函数f（x）在区间（-∞，1）及（

1

a

，+∞）上为增函数；在区间（1，

1

a

）上为减函数；
②当a＞1，即

1

a

＜1时，函数f（x）在区间（-∞，

1

a

）及（1，+∞）上为增函数；在区间（

1

a

，1）上为减函数；
（3）由（2）得，函数f（x）在区间（-∞，

1

3

）及（1，+∞）上为增函数；在区间（

1

3

，1）上为减函数；
∴f(x)极大值=f(

1

3

)=

4

27

+b，f（x）_极小值=f（1）=b
∵方程f（x）=0有三个根，
∴f(x)极大值=f(

1

3

)=

4

27

+b＞0，f（x）_极小值=f（1）=b＜0
∴-

4

27

＜b＜0
∴b的取值范围为(-

4

27

，0)．

点评：本题考查导数知识的运用，考查曲线的切线，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．