Question

（1）．已知函数y=x+（x＞-2），求此函数的最小值．
（2）已知x＜，求y=4x-1+的最大值；
（3）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20，求xy的最大值；
（4）已知x，y∈R⁺且x+2y=1，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：当题中遇到形如a+的结构或ab与a+b的互化问题时基本不等式是解决问题较好的方法，所以本题可以尝试用基本不等式解题．
（1）函数可化为：y=x+=（x+2）+-2
（2）函数可化为：y=4x-1+=（4x-5）++4（需注意x＜时，4x-5＜0所以要变号）
（3）20=5x+7y≥，则xy≤=
（4）因为x，y∈R⁺且x+2y=1，所以=（）（x+2y）=3++≥2+3=
解答：解：（1）函数y=x+=（x+2）+-2≥=6，
当且仅当x+2=时等号成立，即x=2时取最小值为6（x＞-2）
（2）））∵x＜∴4x-5＜0
∴y=4x-1+=（4x-5）++4
=-[-（4x-5）-]+4≤-2+4=2
当且仅当4x-5=时等号成立，即x=1时取最大值为2．
（3）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20∴20=5x+7y≥；∴xy≤=
当且仅当5x=7y时等号成立，即x=2，y=时取最大值为
（4）=（）（x+2y）=3++≥2+3=（），
当且仅当=时等号成立，即时取最大值为．
点评：基本不等式a+b≥2；，（a＞0，b＞0）是不等式问题中考查的重点之一，在用基本不等式求最值时要注意以下几点：
1、正：即a＞0，b＞0，2、定：即a+b或ab是定值，3、等：即当且仅当a=b时等号成立，能取到最值．