Question

  已知函数，，，其中，且.

（Ⅰ）当时，求函数的最大值；   

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（III）设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

解：⑴当时， ∴

令，则， ∴在上单调递增，在上单调递减

∴                                

⑵，，（）

∴当时，，∴函数的增区间为，

当时，，

当时，，函数是减函数；当时，，函数是增函数。

综上得，当时，的增区间为； 

当时，的增区间为，减区间为                                 

⑶当，在上是减函数，此时的取值集合；

当时，，

若时，在上是增函数，此时的取值集合；

若时，在上是减函数，此时的取值集合。

对任意给定的非零实数，

①当时，∵在上是减函数，则在上不存在实数（），使得，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴；

②当时，在时是单调函数，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴。

综上得，实数的取值范围为。