题目内容

已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为A（1，0），过C的焦点且垂直长轴的弦长为
2
．
（I）求椭圆C的方程；
（II）经过定点F（0，1）的两直线l1，l2与椭圆分别交于P、Q、M、N，且l1⊥l2，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．
分析：（I）由题意，椭圆的焦点在y轴上，利用椭圆的右顶点为A（1，0），过C的焦点且垂直长轴的弦长为
2
，建立方程组，从而可求椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）分斜率组存在与存在分别讨论，利用直线与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，确定面积的表达式，即可求得结论．
解答：解：（I）由题意，椭圆的焦点在y轴上，
b=1
2b2
a
=
2
，∴
b=1
a=
2
c=1
，∴椭圆方程为
y2
2
+x2=1…（4分）
（2）（ⅰ）若l1与l2中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则S=
1
2
•2a•
2b2
a
=2…（5分）
（ⅱ）若l1与l2得斜率均存在，设l1：y=kx+1与椭圆方程联立
y=kx+1
2x2+y2=2

消去y可得（2+k2）x+2kx-1=0，则△=8（k2+1＞0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-
2k
2+k2
，x1x2=
-1
2+k2

∴|PQ|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
×
(x1+x2)2-4x1x2
=2
2
×
k2+1
k2+2

同理可得|MN|=2
2
×
k2+1
2k2+1
…（8分）
∴S=
1
2
|PQ||MN|=4
k4+2k2+1
2k4+5k2+2
=
4
2+
k2
k4+2k2+1
=
4
2+
1
k2+
1
k2
+2

由k2+
1
k2
≥2，得
16
9
≤S＜2…（10分）
由（ⅰ）（ⅱ）知，Smin=
16
9
，Smax=2…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确表示四边形PMQN的面积是关键．
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精英家教网如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，过右顶点A 的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B（-1，-3）．
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）若圆D：x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与直线lAB相切，求实数m的值．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2
2
．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求m的取值范围．
（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．
（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；
（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且
MP
=3
PN
，求实数m的取值范围．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为椭圆C上的不同两点，已知向量
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．已知O为坐标原点，试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

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