Question

在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 {A_j}，j=1，2，…，以及在第一象限内的抛物线y2=

3

2

x上从左向右依次取点列{B_k}，k=1，2，…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等边三角形，其中A₀是坐标原点，则第2011个等边三角形的边长是

2011

．

Answer 1

分析：由题设△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等边三角形，设第n个等边三角形的边长为a_n．则可得出第n个等边三角形的在抛物线上的顶点B_n的坐标为（a1+a2+…+an-1+

an

2

，

3 2 (a1+a2+…+an-1+ an 2 )

）．再在第n个正三角形中求出它的高即可得到点B_n的纵坐标的另一种表示为

a 2 n -( 1 2 an)2

=

3

2

an．由此得到恒等式

3

2

an=

3 2 (a1+a2+…+an-1+ an 2 )

，利用此恒等式即可解出a_n=n，从而得到第2011个等边三角形的边长．

解答：解：（1）设第n个等边三角形的边长为a_n．则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点B_n的坐标为（a1+a2+…+an-1+

an

2

，

3 2 (a1+a2+…+an-1+ an 2 )

）．
再从第n个等边三角形中，可得B_n的纵坐标为

a 2 n -( 1 2 an)2

=

3

2

an．
从而有

3

2

an=

3 2 (a1+a2+…+an-1+ an 2 )

，
即有

1

2

a

2 n

=a1+a2+…+an-1+

an

2

．
由此可得a1+a2+…+an=

an

2

+

1

2

a

2 n

①
以及a1+a2+…+an-1=

an-1

2

+

1

2

a

2 n-1

②
①-②即得an=

1

2

(an-an-1)+

1

2

(an-an-1)(an+an-1)．
变形可得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0．
由于a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1．
在①式中取n=1，可得

1

2

a1=

1

2

a

2 1

，而a₁≠0，故a₁=1．所以a_n=n
∴第2011个等边三角形的边长 a₂₀₁₁=2011
故答案为2011

点评：本题考查数列与解析几何的综合，本题有一定的探究性，解题的关键是将点B_n的纵坐标用两种形式表示出来从而得出恒成立的等式，本题综合性强运算量大，解题时要严谨答题避免马虎出错导致解题失败．本题考查了数形结合的技巧及转化的思想，是高考中的易考题型