Question

在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 A_j，j=1，2，…，以及在第一象限内的抛物线y2=

3

2

x上从左向右依次取点列B_k，k=1，2，…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等边三角形，其中A₀是坐标原点，设第n个等边三角形的边长为a_n．
（1）求a_n的通项公式
（2）设cn=

1

an3

，求证：c1+c2+…+cn＜

5

4

．

Answer 1

分析：（1）设第n个等边三角形的边长为a_n，利用顶点B_n在第n个等边三角形的在抛物线上，结合B_n的纵坐标为

a 2 n -( 1 2 an)2

=

3

2

an．建立等式化简得a1+a2+…+an=

an

2

+

1

2

a

n 2

，然后再写一式，两式相减得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由于a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1．从而可求a_n的通项公式；
（2）由已知条件可知cn=

1

n3

，又因为

1

n3

=

1

n•n2

＜

1

n•(n2-1)

=

1

2

(

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

)，再求和利用放缩法求证即可．

解答：解：（1）设第n个等边三角形的边长为a_n．则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点B_n的坐标为a1+a2+…+an-1+

an

2

，

3 2 (a1+a2+…+an-1+ an 2 )

）．
再从第n个等边三角形上，我们可得B_n的纵坐标为

a 2 n -( 1 2 an)2

=

3

2

an．
从而有

3

2

an=

3 2 (a1+a2+…+an-1+ an 2 )

，
即有

1

2

a

2 n

=a1+a2+…+an-1+

an

2

．
由此可得a1+a2+…+an=

an

2

+

1

2

a

2 n

①
以及a1+a2+…+an-1=

an-1

2

+

1

2

a

2 n-1

②
①-②即得an=

1

2

(an-an-1)+

1

2

(an-an-1)(an+an-1)．
变形可得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0．
由于a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1．
在①式中取n=1，可得

1

2

a1=

1

2

a

2 1

，而a₁≠0，故a₁=1．所以a_n=n
（2）由已知条件可知cn=

1

n3

，
又因为

1

n3

=

1

n•n2

＜

1

n•(n2-1)

=

1

2

(

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

)
所以

1

13

+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

＜1+

1

2

(

1

1×2

-

1

2×3

+

1

2×3

-

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

)＜1+

1

4

-

1

2n(n+1)

＜

5

4

点评：本题主要考查数列的通项及放缩法求证不等式，同时应注意裂项求和法的应用．