Question

在△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（cos

C

2

，1），

n

=（-l，sin（A+B）），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若

CA

•

CB

=

3

2

，且a+b=4，求c．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得

m

•

n

=0，化简可得cos

C

2

（-1+2sin

C

2

）=0，可得

C

2

∈（0，

π

2

），有cos

C

2

＞0，必有-1+2sin

C

2

=0，可得得sin

C

2

=

1

2

，可得C；（Ⅱ）由已知结合数量积的定义可得ab的值，由余弦定理可得c²=（a+b）²-3ab，代入计算可得c²，可得c值．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得

m

•

n

=-cos

C

2

+sin（A+B）=0，
化简可得-cos

C

2

+sinC=-cos

C

2

+2sin

C

2

cos

C

2

=cos

C

2

（-1+2sin

C

2

）=0，
∵C∈（0，π），
∴

C

2

∈（0，

π

2

），
∴cos

C

2

＞0，
∴-1+2sin

C

2

=0
解得sin

C

2

=

1

2

，
∴

C

2

=

π

6

，∴C=

π

3

（Ⅱ）∵

CA

•

CB

=abcosC=

1

2

ab=

3

2

，∴ab=3，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC
=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
=4²-3×3=7
∴c=

7

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角函数的运算和余弦定理的应用，属中档题．