Question

（2010•桂林二模）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知8sin²

B+C

2

-2cos2A=7，且a=

5

，b+c=5，求角A及△ABC的面积．

Answer 1

分析：把已知等式的左边两项分别利用二倍角的余弦函数公式化简，再根据三角形的内角和定理及诱导公式变形，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而求出cosA和sinA的值，利用余弦定理表示出cosA，配方后，把cosA，a及b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：由8sin²

B+C

2

-2cos2A=7及A+B+C=π得：
4[1-cos（B+C）]-2（2cos²A-1）=7，
整理得：4[1+cosA]-4cos²A+2=7，即4cos²A-4cosA+1=0，
即（2cosA-1）²=0，
解得：cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴（b+c）²-a²=3bc，
又a=

5

，b+c=5，
∴bc=

20

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

20

3

×

3

2

=

5 3

3

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，诱导公式，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．