Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PA＝AB＝2，E为PD中点． (1) 证明：PB//平面AEC； (2) 证明：平面PCD⊥平面PAD； (3) 求二面角E－AC－D的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：连结BD交AC于点O，连结EO．……………………1分 O为BD中点，E为PD中点， ∴EO//PB．……………………2分 EO平面AEC，PB平面AEC，……………………3分 ∴PB//平面AEC．……………………4分
(2)	证明：P点在平面ABCD内的射影为A， ∴PA⊥平面ABCD． 平面ABCD， ∴．……………………5分 又在正方形ABCD中且，……………………6分 ∴CD平面PAD．……………………7分 又平面PCD， ∴平面平面．……………………8分
(3)	解法1：取AD中点L，过L作LKAC于K，连接EK、EL,………………9分 L为AD中点，∴EL//PA，∴EL平面ABCD， ∴LK为EK在平面ABCD内的射影． 又LKAC,∴EKAC,……………………11分 ∴为二面角E—AC—D的平面角．……………………12分 在RtADC中，LKAC， ∴∽, ∴,即，∴，……………………13分 在Rt中，， ∴二面角E—AC—D的正切值为．……………………14分 解法2： 如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．………………9分 由PA＝AB＝2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)．……………10分 PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，＝(0,0,2)． 设平面AEC的法向量为,, 则即 ∴ ∴令,则．………………12分 ∴,…………………13分 ∴． ∴二面角E—AC—D的正切值为．…………………14分