Question

15．解关于x的不等式3x²-mx-m＞0．

Answer 1

分析 讨论m的取值，利用判别式△求出对应方程3x²-mx-m=0实数根，从而得出不等式3x²-mx-m＞0的解集．

解答 解：令△=m²+12m=0，解得m=0或m=-12；
∴当m=0或m=-12时，△=0，
方程3x²-mx-m=0有两个相等的实数根x₁=x₂=$\frac{m}{6}$，
∴不等式3x²-mx-m＞0的解集为{x|x≠$\frac{m}{6}$}；
当m＜-12或x＞0时，△＞0，
方程3x²-mx-m=0有两个实数根x₁=$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}+12m}}{6}$，x₂=$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+12m}}{6}$，且x₁＜x₂，
∴不等式3x²-mx-m＞0的解集为{x|x＜$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}+12m}}{6}$或x＞$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+12m}}{6}$}；
当-12＜m＜0时，△＜0，
方程3x²-mx-m=0无实数根，
∴不等式3x²-mx-m＞0的解集为R，
综上，m=0或m=-12时，不等式的解集为{x|x≠$\frac{m}{6}$}，
m＜-12或x＞0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}+12m}}{6}$或x＞$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+12m}}{6}$}，
-12＜m＜0时，不等式的解集为R．

点评 本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是综合性题目．