Question

3．已知x+x^-1=3，那么x²-x^-2的值为-3$\sqrt{5}$或3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知的式子两边同时平方得到x²+x^-2=7，从而利用完全平方差公式得到$x-{x}^{-1}=±\sqrt{5}$，再利用平方差公式能求出x²-x^-2的值．

解答 解：∵x+x^-1=3，
∴（x+x^-1）²=x²+x^-2+2=9，
∴x²+x^-2=7，
∴（x-x^-1）²=x²+x^-2-2=5，
∴$x-{x}^{-1}=±\sqrt{5}$，
当x-x^-1=-$\sqrt{5}$时，x²-x^-2=（x+x^-1）（x-x^-1）=-3$\sqrt{5}$，
当x-x^-1=$\sqrt{5}$时，x²-x^-2=（x+x^-1）（x-x^-1）=3$\sqrt{5}$．
故答案为：-3$\sqrt{5}$或3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意完全平方差（和）公式和平方差公式的合理运用．